matriks (matematika XII)

MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)

I2 =	é 1 0 ù ë 0 1 û	I3 =	é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A

MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
  
  
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
  
  Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C
Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

program linear (matematika XII)

Program Linear 

GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAAN
Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan kaidah matematika dengan menyelidiki model matematikanya (dalam bentuk sistem pertidakasamaan linier) yang memiliki banyak kemungkinan penyelesaiaan. Dari sekian banyak penyelesaiaan itu, kita pilih penyelesaian yang optimal. Artinya, yang memenuhi syarat sistem pertidaksamaan linier tadi.

Grafik Himpunan Penyelesaiaan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel
Penyelesaian pertidaksamaan pada diagram cartesius, caranya sebagai berikut:

1. Jika garis itu tidak melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji, yaitu (0,0)!
2. Jika garis itu melalui titik (0,0) maka ambilah titik lain sebagai titik uji (ambil sembarang selain titik (0,0))!

Contoh 1
1) Langkah-langkah atau cara membuat grafik x - y≤ 4

• Buatlah grafik fungsi linier: x - y = 4 atau y = x - 4
• Ujilah dengan cara mensubtitusikan (0,0) pada fungsi linier y = x - 4, sehingga didapat: 0 - 0 ≤ 4 ↔ 0 ≤ 4 atau 4 ≥ 0 (benar)

Jadi, titik (0,0) memenuhi pertidaksamaan linier tadi.

• Arsirlah Himpunan penyelesaiaannya (bidang yang memuat titik (0,0)).

2) Grafik fungsi linier y ≥ 2x ↔ 2x - y ≥ 0

• Buatlah grafik: y = 2x
• Karena grafik fungsi tersebut ternyata melalui titik (0,0), maka ujilah dengan titik sembarang (selain (0,0)), misal kita ambil titik (2,1), kemudian disubstitusikan pada persamaan grafik di atas, sehingga didapat: 4 - 1 ≥0 ↔ 3 ≥ 0 (ini salah).

Jadi, HP (daerah yang akan diarsir) tidak melalui titik (2,1).

• Arsirlah HP-nya (bidang yang tidak memuat titik (2,1)).

3) Menentukan titik optimum, maksimum dan minimum.
Tentukan Hp dari 2x + 5y ≤ 10 dan 4x + 3y ≤ 12.

• Menentukan titik optimum sama halnya dengan mencari irisan dari kedua pertidaksamaan. Caranya, kedua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan dengan dua variabel (sementara).

2x + 5y = 10…(1) |x2| ↔ 4x + 10y = 20
4x + 3y = 12…(2) |x1| ↔ 4x + 3y = 12 -
7y = 8
y = 8/7
y = 8/7 substitusikan ke-(1):
2x + 5 ( 8/7) = 10
↔ 2x = 10 - 40/7 = 30/7
↔ x = 2 1/7

• Untuk menentukan titik maksimum dan titik minimum, bisa dilihat dari grafik dan persamaan yang ditanyakan.
• Grafiknya :

Dari grafik, jelas terlihat bahwa titik (3,0) dan titik (0,4) adalah titik yang memungkinkan menjadi titik minimum atau maksimum (tergantung pada persamaannya).

integral (matematika XII)

INTEGRAL